Решите уравнение:
1) $\frac{3 x^{2} - 9 x}{2} - \frac{12}{x^{2} - 3 x} = 3$ ;
2) $\frac{6}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{8}{(x - 1) (x + 4)} = 1$ ;
3) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = 100;
4) $(x + 2) (x + 3) (x + 8) (x + 12) = 4 x^{2}$ ;
5) $7 (x + \frac{1}{x}) - 2 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) = 9$ ;
6) $2 (x^{2} + x + 1)^{2} - 7 (x - 1)^{2} = 13 (x^{3} - 1)$ ;
7) $(x - 6)^{4} + (x - 4)^{4} = 82$ .

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Мерзляк, Полонский, Якир. §23. Когда сделаны уроки. Номер №1

Решение 1

$\frac{3 x^{2} - 9 x}{2} - \frac{12}{x^{2} - 3 x} = 3$
$\frac{3 (x^{2} - 3 x)}{2} - \frac{12}{x^{2} - 3 x} = 3$
$x^{2} - 3 x \neq 0$
x(x − 3) ≠ 0
x ≠ 0
или
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
$y = x^{2} - 3 x$
$\frac{3 y}{2} - \frac{12}{y} = 3$ | * 2y
$3 y^{2} - 24 = 6 y$
$3 y^{2} - 6 y - 24 = 0$ | : 3
$y^{2} - 2 y - 8 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = (- 2)^{2} - 4 * 1 * (- 8) = 4 + 32 = 36 > 0$
$y_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$
$x^{2} - 3 x = 4$
$x^{2} - 3 x - 4 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = (- 3)^{2} - 4 * 1 * (- 4) = 9 + 16 = 25 > 0$
$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$
или
$x^{2} - 3 x = - 2$
$x^{2} - 3 x + 2 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = (- 3)^{2} - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1 > 0$
$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: −1, 1, 2, 4.

Решение 2

$\frac{6}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{8}{(x - 1) (x + 4)} = 1$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
и
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
и
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4
$\frac{6}{x^{2} + x + 2 x + 2} + \frac{8}{x^{2} - x + 4 x - 4} = 1$
$\frac{6}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{8}{x^{2} + 3 x - 4} = 1$
$y = x^{2} + 3 x$
$\frac{6}{y + 2} + \frac{8}{y - 4} = 1$
y + 2 ≠ 0
y ≠ −2
и
y − 4 ≠ 0
y ≠ 4
$\frac{6}{y + 2} + \frac{8}{y - 4} - 1 = 0$ | * (y + 2)(y − 4)
6(y − 4) + 8(y + 2) − (y + 2)(y − 4) = 0
$6 y - 24 + 8 y + 16 - (y^{2} + 2 y - 4 y - 8) = 0$
$14 y - 8 - y^{2} + 2 y + 8 = 0$
$- y^{2} + 16 y = 0$ | * (−1)
$y^{2} - 16 y = 0$
$y (y - 16) = 0$
y = 0
или
y − 16 = 0
y = 16
$x^{2} + 3 x = 0$
x(x + 3) = 0
x = 0
или
x + 3 = 0
x = −3
или
$x^{2} + 3 x = 16$
$x^{2} + 3 x - 16 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = (- 3)^{2} - 4 * 1 * (- 16) = 9 + 64 = 73 > 0$
$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 3 + \sqrt{73}}{2 * 1} = \frac{- 3 + \sqrt{73}}{2}$
$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 3 - \sqrt{73}}{2 * 1} = \frac{- 3 - \sqrt{73}}{2}$
Ответ: $- 3, 0, \frac{- 3 + \sqrt{73}}{2}, \frac{- 3 - \sqrt{73}}{2}$ .

Решение 3

x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = 100
((x + 8))((x + 3)(x + 5)) = 100
$(x^{2} + 8 x) (x^{2} + 3 x + 5 x + 15) = 100$
$(x^{2} + 8 x) (x^{2} + 8 x + 15) = 100$
$y = x^{2} + 8 x$
y(y + 15) = 100
$y^{2} + 15 y - 100 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = 15^{2} - 4 * 1 * (- 100) = 225 + 400 = 625 > 0$
$y_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 15 + \sqrt{625}}{2 * 1} = \frac{- 15 + 25}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 15 - \sqrt{625}}{2 * 1} = \frac{- 15 - 25}{2} = \frac{- 40}{2} = - 20$
$x^{2} + 8 x = 5$
$x^{2} + 8 x - 5 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = 8^{2} - 4 * 1 * (- 5) = 64 + 20 = 84 > 0$
$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 8 + \sqrt{84}}{2 * 1} = \frac{- 8 + \sqrt{4 * 21}}{2} = \frac{- 8 + 2 \sqrt{21}}{2} = \frac{2 (- 4 + \sqrt{21})}{2} = - 4 + \sqrt{21}$
$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 8 - \sqrt{84}}{2 * 1} = \frac{- 8 - \sqrt{4 * 21}}{2} = \frac{- 8 - 2 \sqrt{21}}{2} = \frac{2 (- 4 - \sqrt{21})}{2} = - 4 - \sqrt{21}$
или
$x^{2} + 8 x = - 20$
$x^{2} + 8 x + 20 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = 8^{2} - 4 * 1 * 20 = 64 - 80 = - 16 < 0$ − нет корней
Ответ: $- 4 + \sqrt{21}$ и $- 4 - \sqrt{21}$

Решение 4

$(x + 2) (x + 3) (x + 8) (x + 12) = 4 x^{2}$
$((x + 2) (x + 12)) ((x + 3) (x + 8)) = 4 x^{2}$
$(x^{2} + 2 x + 12 x + 24) (x^{2} + 3 x + 8 x + 24) = 4 x^{2}$
$(x^{2} + 14 x + 24) (x^{2} + 11 x + 24) = 4 x^{2}$
x = 0 не является корнем уравнения, обе части уравнения разделим на $x^{2}$ .
$\frac{(x^{2} + 14 x + 24) (x^{2} + 11 x + 24)}{x^{2}} = \frac{4 x^{2}}{x^{2}}$
$\frac{x^{2} + 14 x + 24}{x} * \frac{x^{2} + 11 x + 24}{x} = 4$
$(x + 14 + \frac{24}{x}) (x + 11 + \frac{24}{x}) = 4$
$(x + \frac{24}{x} + 14) (x + \frac{24}{x} + 11) = 4$
$y = x + \frac{24}{x}$
(y + 14)(y + 11) = 4
$y^{2} + 14 y + 11 y + 154 - 4 = 0$
$y^{2} + 25 y + 150 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = 25^{2} - 4 * 1 * 150 = 625 - 600 = 25 > 0$
$y_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 25 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{- 25 + 5}{2} = \frac{- 20}{2} = - 10$
$y_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 25 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{- 25 - 5}{2} = \frac{- 30}{2} = - 15$
$x + \frac{24}{x} = - 10$ | * x
$x^{2} + 24 = - 10 x$
$x^{2} + 10 x + 24 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = 10^{2} - 4 * 1 * 24 = 100 - 96 = 4 > 0$
$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 10 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{- 10 + 2}{2} = \frac{- 8}{2} = - 4$
$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 10 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{- 10 - 2}{2} = \frac{- 12}{2} = - 6$
или
$x + \frac{24}{x} = - 15$ | * x
$x^{2} + 24 = - 15 x$
$x^{2} + 15 x + 24 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = 15^{2} - 4 * 1 * 24 = 225 - 96 = 129 > 0$
$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 10 + \sqrt{129}}{2 * 1} = \frac{- 10 + \sqrt{129}}{2}$
$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 10 - \sqrt{129}}{2 * 1} = \frac{- 10 - \sqrt{129}}{2}$
Ответ: $- 6, - 4, \frac{- 10 + \sqrt{129}}{2}, \frac{- 10 - \sqrt{129}}{2}$ .

Решение 5

$7 (x + \frac{1}{x}) - 2 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) = 9$
x ≠ 0
$y = x + \frac{1}{x}$
$y^{2} = (x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 * x * \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}$
тогда:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = y^{2} - 2$
$7 y - 2 (y^{2} - 2) = 9$
$7 y - 2 y^{2} + 4 - 9 = 0$
$- 2 y^{2} + 7 y - 5 = 0$ | * (−1)
$2 y^{2} - 7 y + 5 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = (- 7)^{2} - 4 * 2 * 5 = 49 - 40 = 9 > 0$
$y_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 * 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2, 5$
$y_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 * 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
1)
y = 2,5
$x + \frac{1}{x} = 2, 5$ | * 2x
$2 x^{2} + 2 = 5 x$
$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0$
$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 * 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 * 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0, 5$
2)
y = 1
$x + \frac{1}{x} = 1$ | * x
$x^{2} + 1 = x$
$x^{2} - x + 1 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = (- 1)^{2} - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = - 3 < 0$ − нет корней
Ответ: 0,5 и 2

Решение 6

$2 (x^{2} + x + 1)^{2} - 7 (x - 1)^{2} = 13 (x^{3} - 1)$
$2 (x^{2} + x + 1)^{2} - 7 (x - 1)^{2} = 13 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$
$x^{3} - 1 \neq 0$
x ≠ 1
$2 (x^{2} + x + 1)^{2} - 7 (x - 1)^{2} = 13 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ | : $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$
$\frac{2 (x^{2} + x + 1)^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{7 (x - 1)^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{13 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$
$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x - 1} - \frac{7 (x - 1)}{x^{2} + x + 1} = 13$
$y = \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$
$2 y - \frac{7}{y} = 13$ | * y
$2 y^{2} - 7 = 13 y$
$2 y^{2} - 13 y - 7 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = (- 13)^{2} - 4 * 2 * (- 7) = 169 + 56 = 225 > 0$
$y_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{13 + \sqrt{225}}{2 * 2} = \frac{13 + 15}{4} = \frac{28}{4} = 7$
$y_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{13 - \sqrt{225}}{2 * 2} = \frac{13 - 15}{4} = \frac{- 2}{4} = - 0, 5$
1)
y = 7:
$\frac{x^{2} + x + 1}{x - 1} = 7$ | * (x − 1)
$x^{2} + x + 1 = 7 (x - 1)$
$x^{2} + x + 1 = 7 x - 7$
$x^{2} + x - 7 x + 1 + 7 = 0$
$x^{2} - 6 x + 8 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = (- 6)^{2} - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4 > 0$
$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
2)
y = −0,5:
$\frac{x^{2} + x + 1}{x - 1} = - 0, 5$ | * 2(x − 1)
$2 (x^{2} + x + 1) = - (x - 1)$
$2 x^{2} + 2 x + 2 = - x + 1$
$2 x^{2} + 2 x + 2 + x - 1 = 0$
$2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$
$D = b^{2} - 4 a c = 3^{2} - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1 > 0$
$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 3 + \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{- 3 + 1}{4} = \frac{- 2}{4} = - 0, 5$
$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 3 - \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{- 3 - 1}{4} = \frac{- 4}{4} = - 1$
Ответ: −1, −0,5, 2, 4.

Решение 7

$(x - 6)^{4} + (x - 4)^{4} = 82$
$((x - 6)^{2})^{2} + ((x - 4)^{2})^{2} = 82$
сумма квадратов двух неотрицательных чисел может быть равна 82, если эти числа равны 1 и 81, тогда:
1)
$(x - 6)^{4} = 1$
$((x - 6)^{2})^{2} = 1$
$(x - 6)^{2} = 1$
$x_{1} = 7$
$x_{2} = 5$ − не является решением, так как:
$(5 - 6)^{4} + (5 - 4)^{4} = 82$
$1^{4} + 1^{4} = 82$
1 + 1 = 82
2 ≠ 82
или
$(x - 6)^{4} = - 1$ − нет корней
$(x - 4)^{4} = 81$
$(x - 4)^{2} = 9$
$x_{1} = 7$
$x_{2} = 1$ − не является решением, так как:
$(1 - 6)^{4} + (1 - 4)^{4} = 82$
$(- 5)^{4} + (- 3)^{4} = 82$
625 + 81 = 82
706 ≠ 82
или
$(x - 4)^{2} = - 9$ − нет корней
2)
$(x - 6)^{4} = 81$
$(x - 6)^{2} = 9$
$x_{1} = 3$
$x_{2} = 9$ − не является решением, так как:
$(9 - 6)^{4} + (9 - 4)^{4} = 82$
$3^{4} + 5^{4} = 82$
81 + 625 = 82
706 ≠ 82
или
$(x - 6)^{2} = - 9$ − нет корней
$(x - 4)^{4} = 1$
$((x - 4)^{2})^{2} = 1$
$(x - 4)^{2} = 1$
$x_{1} = 3$
$x_{2} = 5$ − не является решением, так как:
$(5 - 6)^{4} + (5 - 4)^{4} = 82$
$1^{4} + 1^{4} = 82$
1 + 1 = 82
2 ≠ 82
или
$(x - 4)^{4} = - 1$ − нет корней
Ответ: 3 и 7

ГДЗ Алгебра 8 класс Мерзляк, Полонский, Якир

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Мерзляк, Полонский, Якир. §23. Когда сделаны уроки. Номер №1

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Мерзляк, Полонский, Якир. §23. Когда сделаны уроки. Номер №1

Решение 1

Решение 2

Решение 3

Решение 4

Решение 5

Решение 6

Решение 7